PROBABILITAS
DAN STATISTIK
Rangkuman
· Distribusi peluangdiskreat : Binomial, Hipergeometrik, BinomialNegatif, Geometri dan Poisson
· Distribusi Peluang Kontinu : Distribusi
Normal
Ø
Distribusi Binomial
Suatu pengamatan atau percobaan dilakukan dengan beberapa usaha.Setiap usaha menghasilkan dua kemungkinan, berhasil atau gagal. Setiapusaha
yang dilakukan harus memenuhi syarat proses
Bernoulli berikutini:
·
Percobaan terdiri atas
n usaha yang berulang
·
Tiap usaha member hasil
yang dapat dikelompokan menjadi sukses atau gagal
·
Peluang sukses, dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha
yang satu ke yang berikutnya.
·
Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.
merupakan fungsi kombinasi sebagai berikut:
Dimana::
Distribusi binomial
mempunyai rata-rata danvarian sebagai berikut:
dan
Contoh,suatu pabrik
ban melakukan pengujian kualitas terhadap beberapa produknya hasiluji menyatakan 15% dinyatakan sebagai produk tidak layak.
Apabila dilakukan pengujian lagi terhadap 10 ban, berapa peluang tepat
5 ban tidaklayak.
Penyelesaian manual
Penyelesaiandengan SPSS
Anda dapat menyelesaikan contoh tersebut dengan
SPSS secara cepat dan mudah.berikut ini langkah-langkahnya:
·
Klik Transform => Compute
Variabel sehingga kotak
dialog Compute Variabel akan muncul
·
Pada function
group, pilih PDF & Noncental
PDF dan pada Function and Special Variabels, pilih Pdf.Binom
·
Pindahkan fungsi tersebut dengan menekan tombol panah atas kekotak Numeric Expression. Kotakter sebut akan tertulis PDF.BINOM(?,?,?).
·
Masukan nilai q, n,
dan p pada tandatanya pertama, kedua dan ketiga.
Variabel q adalah banyaknya usaha yang dikategorikan sukses (tepat
5 ban tidaklayak). Variabel n adalah banyaknya usaha dalam suatu pengamatan/percobaan(10).
Variabel p adalah probabilitas sukses(15% produktidaklayak).
PDF.BINOM(5,10,0.15). PDF merupakan singkatan dari
Probability Density Function yang artinya adalah fungsi peluang pada suatu titik tertentu.
·
Tulis hasil pada kotak Target Variabel.
·
Klik OK
Keterangan:
Sebelum anda melakukan perhitungan dengan
SPSS, anda harus membangun data terlebih dahulu. Buat variable dengan nama hasil ; typenumeric ; dan
decimal 5.
Setelah selesai masuk pada tampilan
Data View. Pada kolom hasil yang
telah terbentuk, masukan angka sembarang. Hal
ini perlu karena apabila tidak dilakukan maka hasil perhitungan tidak muncul.
Dengan bantuan fungs iCount
, anda dapat melakukan perhitungan lebih lanjut.
Berapa peluang
paling sedikit 2 ban tidak layak dan berapa peluang
3 sampai 4 ban tidak layak? Anda dapat menggunakan fungsi
CDF.BINOM.CDF merupakan singkatan dari Cumulative Distribution Function,
yang menghitung peluang komulatif suatu rentang tertentu. Anda dapat membuat table fungsi distribusi komulatif
binomial dengan menggunakan fungsi ini.
Peluang Paling sedikit
2 ban tidak layak,
dapat anda cari dengan fungsi CDF.BINOM(2,10,0.15). hasilnya 0.82020
Peluang 3 sampai 4 ban tidaklayak,
dapat dicari dengan fungsi CDF.BINOM (4,10,0.15) hasilnya 0.99862, dan
dapat dicari dengan fungsi CDF.BINOM (2,10,0.15). hasilnya 0.82020
Ø Distribusi Hiper geometrik
Berbeda dengan distribusi
binomial yang mensyaratkan pengembalian setiap barang setelah diamati,
distribusi hipergeometrik tidak memerlukan kebebasan dan didasarkan pada
sampling tanpa pengembalian. Suatu percobaan hipergeometrik memiliki dua sifat berikut:
- Sampel aca kukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda
- Sebanyak k benda dikategorikan sukses, sisanya N-k dikategorikan gagal.
dimana:
x = kejadian sukses pada waktu pengambilan sampel
N = keseluruhan ruang sampel
n = banyaknya sampel yang diambil
k = banyaknya sukses dalam keseluruhan ruang sampel
contoh,
dalam suatu kotak berisi
15 suku cadang dimana terdapat 4 suku cadang yang tidak layak pakai.
Bila kita melakukan sampling
pada kotak tersebut sebanyak 5 kali, berapa peluang mendapat
2 suku cadang yang tidak layak pakai dalam
sampling tersebut?
Penyelesaian manual
Diketahui:
Perhitungandengan SPSS\
Gunakan fungsi PDF.HYPER (q, total, sampel, hits) pada kotak dialog Compute Variabel. Variabel q identik dengan
x pada formula distribusi hipergeometrik, yang menjelaskan kejadian sukses pada waktu pengambilan sampel. Variabel
total identik dengan N yang menjelaskan keseluruhan ruang sampel.
Variabel sampel identik dengan n yang menjelaskan banyaknya sampel
yang diambil. Variabel hits identik dengank yang menjelaskan banyaknya sukses dalam ruang sampel.
PDF.HYPER (2, 15, 5, 4) = > 0.32967
Contoh lanjutan
,berapa peluang untuk mendapat paling sedikit 3 produk tidak layak pakai?
Karena terkait dengan pendugaan rentang,
gunakan fungsi CDF.HYPER (q, total, sample, hits):
Bila n kecil dibandingkan dengan
N maka peluang tiap penarikan hanya berubah sedikit. Jadi distribusi binomial dengan P = k/N sehingga rata-rata dan varian dapat didekati sebagai berikut:
Bila kedu arumus dibandingkan maka terlihat bahwa rataannya sama sedangkan variannya berbeda sebesar factor koreksi
besaran ini dapat diabaikan bila
n kecil dibandingkan dengan N.
Contoh, suatu pabrik lampu melaporkan bahwa pengiriman sebanyak
10.000 lampu ke suatu took tertentu terdapat 500 cacat. Bila seorang membeli
5 lampu secara acak dari took tersebut, berapa peluang untuk mendapat
3 lampu cacat?
Hipergeometri:
perhitungan manual sangat sulit anda lakukan.
Perhitungan yang dimaksud adalah perhitungan nilai kombinasinya, mengingat nilai N yang sangat besardengan
n kecil.
Hasil perhitungan dengan spss dengan fungsi PDF.HYPER (q, total, sample, hits):
PDF.HYPER (3, 10000, 5, 500) = > 0.00112
Binomial : Perhitungan Manual
Perhatikan peluang
yang diperoleh antara distribusi hipergeometri dengan distribusi binomial. Selisihnya tidak signifikan apabila variabel
n kecil dibandingkan variabel N.
Binomial : Perhitungan dengan spss
Perhitungan dengan spss dapat anda lakukan dengan fungsi PDF.BINOM (q, n, p).
PDF.BINOM (3, 5, 0.05) = > 0.00113
Ø Distribusi Binomial
Negatif
Distribusi
binomial negative memiliki sifat yang sama dengan distribusi
binomial. Pembedanya terletak pada usaha yang dilakukan sampai sejumlah sukses tertentu.
Dimana:
X=banyaknya usaha
yang dilakukan
K=banyaknya usaha
yang berakhir tepat sukses tertentu
P=peluang sukses
Contoh,
berapa peluang seseorang melemparkan dua uang logam sekaligus untuk mendapat semua muka ketiga kalinya pada lemparan ketujuh.
Binomial Negatif: Perhitungan Manual
Diketahui :
Ruang Sampel
=
T = {MM, MB, BB, BM}
Di mana M adalah muka dan
B adalah belakang. Maka nilai p dapat dicari :
k=3 dan x=7
Binomial negative : Perhitungan dengan SPSS
Gunakan fungsi PDF.NEGBIN (q, threshold, p) dimana variabel q identik dengan variabel
x, merupakan jumlah usaha yang dilakukan. Variabel threshold identik dengan variabel
k, merupakan variable jumlah sukses dalam suatu usaha tertentu.
PDF.NEGBIN (7, 3, 0.25) = > 0.07416
Distribusi geometri merupakan hal khusus dari distribusi
binomial negative dengan k=1. Dengan kata lain mencari peluang sukses untuk pertama
kali.
Geometri : Perhitungan Manual
Dimana:
p=peluang sukses
q=peluang gagal
x=banyaknya usaha
yang dilakukan
contoh seorang melemparkan
2 uang logam sekaligus. Berapa peluang muncul untuk muka semua pada kedua koin apabila dilakukan pelemparan sebanyak
5 kali?
Diketahui:
Geometri : Perhitungan SPSS
Gunakan fungsi PDF.GEOM (q, p) diman avariabel q identik denga nvariabel
x , merupakan variable ljumlah usaha yang dilakukan.
PDF. GEOM (5, 0, 25,) = > 0.07910
Ø Distrbusi Poisson
Distribusi poisson adalah distribusi melalui percobaan
poisson (proses possion) yang memiliki sifst sebagai berikut :
·
Banyaknya hasil
yang terjadi dalam suatu selang waktu
atau daerah tertentu tidak terpengaruh oleh apa yang terjadi pada selan waktu
atau daerah lain yang terpisah.
·
Peluang terjadinya
suatu hasil dalam selang waktu yang amat pendek atau daerah yang kecil
sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya.
·
Peluang terjadinya
lebih dari satu hasil dalam selang waktu yang pendek atau daerah yang sempit
tersebut dapat diabaikan.
Distribusi
poisson menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau
daerah tertentu dinyatakan dengan t.
menyatakan
rata-rata banyaknya sukses yang terjadi per sauan waktu atau daerah tersebut
dan e =2.71828.
Contoh, pada suatu persimpangan jalan,
rata-rata terjad kecelakaan sebanyak 5 kali dalam seminggu. Berapa peluang
dalam satu minggu terjadi kecelakaan 7 kali.
Poisson :
Perhitungan Manual
Diketahui:
Poisson
perhitungan dengan SPSS
Gunakan fungsi PDf.POISSON (q, mean) di mana varibel q
identi dengan variabel
, merupakan variabel banyaknya kejadian tertentu.
Variabel mean identik dengan variabel
merupakaan rata-rata kejadian tertentu.
PDF.POISSON(7,5)
=> 0.10444.
Contoh, pada suatu proses pembuatan produk, rata-rata 1
dari 500 produk tidak layak jual. Bila 10.000 produk diambil secara acak,
hitung peluang untuk terdapat 10 produk
tidak layak jual.
Binomial
PDF.BINOMI(q, n,
p)
q = 10, n = 10000 dan p = 0.002
PDF.BINOMI(10,
10000, 0.002) = > 0.00579
Poisson
PDF.POISSON(q,
mean)
PDF.POISSON
(10,20) = > 0.00582.
Ø Distribusi Peluang Kontinu
Distribusi peluang kontinu yang umum
digunakan adalah distribusi nrmal.
Distribusi Normal
Distribui normal berbentuk loncen denan rataan
.
Dengan
Kurva setiap distribui kontinu dibuat sedemikian rupa
sehingga luas dibawah kurva diantarakedua ordinat
sama dengan
peluang peubah acak
mendafat nilai antara nilai
.
Peubah acak normal X dapat ditranformasi menjai peubah
acak normal Z, dengan rata-rata 0 dan varian 1. Distribusi tersebu juga disebut distribusi normal baku.
Jadi bila X bernilai antara
maka peubah acak Z
akan bernilai antara
=
Conto, suatu
perusahaan rata-rata memproduksi barang sejumlh 50 buah dengan tandar deviasi
sebesar 10 buah. Berapa peluang perusahaan tersebut untuk memproduksi tepat 55
buah.
Normal : Perhitungan dengan SPSS
Anda dapat menggunakan
fumgsi PDF.NORMAL (q, mean, stddev) bila
mencari peluang pada suatu titik tertentu dimana variabel q identik daengan
variabel
, pariabel mean
identik dengan variabel
, variabel stddev identik dengan variabel
.
PDF.NORMAL
(55, 50, 10) = > 0.03521
Contoh lanjut, beberapa peluang
perusahaan memproduksi antara 43 sampai 55 produk.
Gunakan fungsi CDF.NORMAL (q, mean,
stddev) bila menghitung peluang rentang.
Anda dapat tabel komulatif distribusi
normal standar menggunakan fungsi dengan terlebih dahulu mentransfr variabel x
ke variabel z.
Contoh lanjut, tentukan berapa jumlah
produk
bila luasan di
sebelah kiri (peluang komulatif) adalah 45%.
maka
Normal
: Perhitungan Manual
Luas sebesar 45% bila dicari dalam
tabel komulatif didistribusi normal standar akan terletak pada z = -o,13 dan z
=-o,12.
13) + 50 = 48.7
Normal
: Perhitungan dengan SPSS
Gunakan fungsi IDF.NORMAL(p, mean, stddev) di mana variabel p identik dengan variabel
% peluang. Variabel mean identik dengan variabel
Variabel stddev
identik dengan variabel
IDF.NORMAL(0.45,
50, 10) => 48.74339.
Perbedaan hasil dengan perhitungan
manual karena penilaian nilai z benar-benar untuk luasan 45% pada perhitungan
ini.
Distribusi normal dapat digunakan untuk
menyelesaikan permasalahan pada distribusi nominal.
Contoh suatu pabrik ban melakukan suatu
pengujian kualitas terhadap beberapa produknya. Hasil uji menyatakan 2%
dinyatakan sebagai produk tidak layak. Apabila dilakukan pengujian lagi
terhadap 100 produk, berapa peluang tepat 5 produk tidak layak.
Binominal
: Perhitungan dengan SPSS
PDF.BINOM(q,n,p).
PDF.BINOM(5,100,0,02)=>
0.03535
Normal
: Perhitungan dengan SPSS
Diketahui:
=
= 1.4
PDF.NORMAL(q,
mean, stddev)
PDF.NORMAL(5,2,1.4) => 0.02869.
Dirangkum
Oleh :
Gugun
julkarnaen & Gunawan
Manajemen
Informatika Semester 2
Sumber
dari buku : step by step SPSS Analisa Data Statistik 16 .
Daftar
Pustaka
·
Trihendradi, C.,
SPSS 13 step b y
step Analisa Data Statistik,
Penerbit ANDI, 2006
·
_________, SPSS 15, Statistik
Inferen, Teori dasar & Aplikasinnya,
Penerbit ANDI, 2008
0 Komentar untuk "STMIK Sumedang"
Silakan tinggalkan komentar anda. DILARANG KERAS menyimpan link blog/web pada komentar dengan tujuan backlink, Spam.